Ejercicio 2 de Parcial
de Riobó Lucas Matías - Hola a todos. El ejercicio en cuestión es de este parcial
http://materias.fi.uba.ar/6607/examenes/parciales/par2c_09a.pdf
El problema es este, si consideramos x[n]=0 para n<0 y n>19 (que creo que es lo razonable, porque no dice nada de periodicidad ni cosas extrañas), entonces el punto a, pide básicamente la DFT de 10 puntos de x[n]. ¿No?.
Para agilizar la nomenclatura, la DFT de 10 puntos la voy a escribir como DFT10 y la de 20 puntos, como DFT20.
Yo se que: DFT10[k]=DFT20[2k] (creo que va por una constante no recuerdo).
si defino como x[n]= a[n]+b[n]+c[n]
Donde a[n] es 1 para 0<=n<=9 y 0 para 9<n<=19.
b[n] son las deltas espaciadas para arriba (con los 10 ceros adelante).
y c[n] son las deltas espaciadas para abajo (con los 10 ceros adelante).
Entonces creo que es correcto decir esto:
x[k]=DFT10{x[n]}= DFT10{a[n]}+DFT10{b[n]}+DFT10{c[n]}
El problema es, ni por cuentas, ni por matlab e independientemente de los valores de a y b, x[k] queda de la forma que pide el enunciado, sino que solo sobrevive x[k=0] distinto de cero y el resto son ceros.
¿Cómo lo hice analíticamente?
bueno, como tanto a[n],b[n] y c[n] son de 20 puntos, si hago la DFT de 10 puntos, habrá aliasing temporal. Lo que significa periodizar x[n] cada 10 puntos (lo mismo con a[n],b[n],c[n]).
Analizando por separado las 3 funciones, tengo:
a[n]= [a a a a a a a a a a 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0].
b[n]=[0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 b 0 b 0 b 0 b 0 b 0].
c[n]=[0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -b 0 -b 0 -b 0 -b 0 -b].
Si las periodizo cada 10, creo que me quedaria algo como esto:
a[n]= [a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a].
b[n]=[b 0 b 0 b 0 b 0 b 0 b 0 b 0 b 0 b 0 b 0].
c[n]=[0 -b 0 -b 0 -b 0 -b 0 -b 0 -b 0 -b 0 -b 0 -b 0 -b]. (obviamente todos estos vectores son "infinitos" y todos periódicos).
a[k]=DFT10{a[n]}= [10a 0 0 0 0 0 0 0 0 0].
Ahora, el segundo de mis problemas es con b[n] y c[n]. Si esta periodizado de esa manera, con ceros intercalados, son IDFT de 2 periodos de una delta en cero (con periodo 5).
Por lo tanto, b[k]=DFT10{b[n]}= [5b 0 0 0 0 5b 0 0 0 0].
idem con c[k]=DFT10{c[n]}= [-5b 0 0 0 0 -5b 0 0 0 0] (esta ultima va con una exponencial compleja que afecta (no tengo la cuenta ahora) a c[k=5].
Si sumo estas DFTs solo queda distinto de cero en k=0 como al principio.
Mi tercer problema es que no estoy seguro si las DFT que hice estan bien. Porque en Matlab si tomo la DFT10 de;
b[n]=[0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 b 0 b 0 b 0 b 0 b 0].
c[n]=[0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -b 0 -b 0 -b 0 -b 0 -b].
Me da todo cero para ambas.
Mientras que:
b[n]=[b 0 b 0 b 0 b 0 b 0 b 0 b 0 b 0 b 0 b 0].
c[n]=[0 -b 0 -b 0 -b 0 -b 0 -b 0 -b 0 -b 0 -b 0 -b 0 -b]
Da como yo pensé analiticamente que daría, entonces no se que tan bien está esa "periodización" que hice.
Independientemente de esto último, si hago en matlab la DFT de 10 puntos de la suma de estas funciones:
a[n]= [a a a a a a a a a a 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0].
b[n]=[0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 b 0 b 0 b 0 b 0 b 0].
c[n]=[0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -b 0 -b 0 -b 0 -b 0 -b].
Que no es otra cosa que la x[n] del principio, da
x[k]=DFT10{x[n]}= [10a 0 0 0 0 0 0 0 0 0].
Aclaración:
La DFT de 10 puntos de una secuencia de 20 puntos, en matlab la hice como fft(x,10) donde x es de 20 puntos.
Gracias!
http://materias.fi.uba.ar/6607/examenes/parciales/par2c_09a.pdf
El problema es este, si consideramos x[n]=0 para n<0 y n>19 (que creo que es lo razonable, porque no dice nada de periodicidad ni cosas extrañas), entonces el punto a, pide básicamente la DFT de 10 puntos de x[n]. ¿No?.
Para agilizar la nomenclatura, la DFT de 10 puntos la voy a escribir como DFT10 y la de 20 puntos, como DFT20.
Yo se que: DFT10[k]=DFT20[2k] (creo que va por una constante no recuerdo).
si defino como x[n]= a[n]+b[n]+c[n]
Donde a[n] es 1 para 0<=n<=9 y 0 para 9<n<=19.
b[n] son las deltas espaciadas para arriba (con los 10 ceros adelante).
y c[n] son las deltas espaciadas para abajo (con los 10 ceros adelante).
Entonces creo que es correcto decir esto:
x[k]=DFT10{x[n]}= DFT10{a[n]}+DFT10{b[n]}+DFT10{c[n]}
El problema es, ni por cuentas, ni por matlab e independientemente de los valores de a y b, x[k] queda de la forma que pide el enunciado, sino que solo sobrevive x[k=0] distinto de cero y el resto son ceros.
¿Cómo lo hice analíticamente?
bueno, como tanto a[n],b[n] y c[n] son de 20 puntos, si hago la DFT de 10 puntos, habrá aliasing temporal. Lo que significa periodizar x[n] cada 10 puntos (lo mismo con a[n],b[n],c[n]).
Analizando por separado las 3 funciones, tengo:
a[n]= [a a a a a a a a a a 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0].
b[n]=[0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 b 0 b 0 b 0 b 0 b 0].
c[n]=[0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -b 0 -b 0 -b 0 -b 0 -b].
Si las periodizo cada 10, creo que me quedaria algo como esto:
a[n]= [a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a].
b[n]=[b 0 b 0 b 0 b 0 b 0 b 0 b 0 b 0 b 0 b 0].
c[n]=[0 -b 0 -b 0 -b 0 -b 0 -b 0 -b 0 -b 0 -b 0 -b 0 -b]. (obviamente todos estos vectores son "infinitos" y todos periódicos).
a[k]=DFT10{a[n]}= [10a 0 0 0 0 0 0 0 0 0].
Ahora, el segundo de mis problemas es con b[n] y c[n]. Si esta periodizado de esa manera, con ceros intercalados, son IDFT de 2 periodos de una delta en cero (con periodo 5).
Por lo tanto, b[k]=DFT10{b[n]}= [5b 0 0 0 0 5b 0 0 0 0].
idem con c[k]=DFT10{c[n]}= [-5b 0 0 0 0 -5b 0 0 0 0] (esta ultima va con una exponencial compleja que afecta (no tengo la cuenta ahora) a c[k=5].
Si sumo estas DFTs solo queda distinto de cero en k=0 como al principio.
Mi tercer problema es que no estoy seguro si las DFT que hice estan bien. Porque en Matlab si tomo la DFT10 de;
b[n]=[0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 b 0 b 0 b 0 b 0 b 0].
c[n]=[0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -b 0 -b 0 -b 0 -b 0 -b].
Me da todo cero para ambas.
Mientras que:
b[n]=[b 0 b 0 b 0 b 0 b 0 b 0 b 0 b 0 b 0 b 0].
c[n]=[0 -b 0 -b 0 -b 0 -b 0 -b 0 -b 0 -b 0 -b 0 -b 0 -b]
Da como yo pensé analiticamente que daría, entonces no se que tan bien está esa "periodización" que hice.
Independientemente de esto último, si hago en matlab la DFT de 10 puntos de la suma de estas funciones:
a[n]= [a a a a a a a a a a 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0].
b[n]=[0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 b 0 b 0 b 0 b 0 b 0].
c[n]=[0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -b 0 -b 0 -b 0 -b 0 -b].
Que no es otra cosa que la x[n] del principio, da
x[k]=DFT10{x[n]}= [10a 0 0 0 0 0 0 0 0 0].
Aclaración:
La DFT de 10 puntos de una secuencia de 20 puntos, en matlab la hice como fft(x,10) donde x es de 20 puntos.
Gracias!
Re: Ejercicio 2 de Parcial
de PELLE PATRICIA ALEJANDRA - Te respondo entre líneas: cuando decís
"Para agilizar la nomenclatura, la DFT de 10 puntos la voy a escribir como DFT10 y la de 20 puntos, como DFT20.
Yo se que: DFT10[k]=DFT20[2k] (creo que va por una constante no recuerdo)."
unido con la parte final:
"Aclaración:
La DFT de 10 puntos de una secuencia de 20 puntos, en matlab la hice como fft(x,10) donde x es de 20 puntos."
Ya desde ahí tenés un error. No te olvides que te dicen que tenés muestras del espectro continuo. Vos cuando hacés fft(x,10), estás truncando la señal a sus primeros 10 puntos. Obviamente que esa nueva señal ni ahí que puede tener el mismo espectro que la señal completa. Cuando vos tomás muestras del espectro, podés tener aliasing en el dominio del tiempo. De hecho, eso es lo que pasa acá, y entonces la relación con la DFT de la señal no es la que vos te estás imaginando.
Yo te sugiero además que pienses por otro lado: pensá cuál es la IDFT de las muestras del espectro ese que te dan, o sea la X(k). Así te vas a dar cuenta enseguida del resultado. Es muy fácil, se saca por inspección. Unido al asunto del aliasing temporal te da que la respuesta es bastante simple. Saludos,
Patricia.
"Para agilizar la nomenclatura, la DFT de 10 puntos la voy a escribir como DFT10 y la de 20 puntos, como DFT20.
Yo se que: DFT10[k]=DFT20[2k] (creo que va por una constante no recuerdo)."
unido con la parte final:
"Aclaración:
La DFT de 10 puntos de una secuencia de 20 puntos, en matlab la hice como fft(x,10) donde x es de 20 puntos."
Ya desde ahí tenés un error. No te olvides que te dicen que tenés muestras del espectro continuo. Vos cuando hacés fft(x,10), estás truncando la señal a sus primeros 10 puntos. Obviamente que esa nueva señal ni ahí que puede tener el mismo espectro que la señal completa. Cuando vos tomás muestras del espectro, podés tener aliasing en el dominio del tiempo. De hecho, eso es lo que pasa acá, y entonces la relación con la DFT de la señal no es la que vos te estás imaginando.
Yo te sugiero además que pienses por otro lado: pensá cuál es la IDFT de las muestras del espectro ese que te dan, o sea la X(k). Así te vas a dar cuenta enseguida del resultado. Es muy fácil, se saca por inspección. Unido al asunto del aliasing temporal te da que la respuesta es bastante simple. Saludos,
Patricia.
Re: Ejercicio 2 de Parcial
de Brion Martin Daniel - Hola Lucas,
Haber si nos podemos dar una mano. Yo veo cual es el resultado pero uno de los problemas que tengo es que mis justificaciones son bastante flacas.
Yo al ver
X(k)=[5,0,0,0,0,5,0,0,0,0]
y al ver que esto era la DFT de 10 puntos (la superposicion de a[n] y b([n]) no queda otra que x[n] sea periodica.
No hay dos deltas de una senoidal en X(k) por lo que es muy probable que sea una continua periodizada cada 5. y esto me lo da una x[n] de 5 deltas.
Pero la DFT es de 10 puntos. Entonces x[n] tiene que tener 5 deltas y ceros intercalados osea x[n]=[1,0,1,0,1,0,1,0]
Entonces a=b=1/2
Lo probé en el matlab y me dio ¿como puedo justificar esto mas "matematicamente"?
Haber si nos podemos dar una mano. Yo veo cual es el resultado pero uno de los problemas que tengo es que mis justificaciones son bastante flacas.
Yo al ver
X(k)=[5,0,0,0,0,5,0,0,0,0]
y al ver que esto era la DFT de 10 puntos (la superposicion de a[n] y b([n]) no queda otra que x[n] sea periodica.
No hay dos deltas de una senoidal en X(k) por lo que es muy probable que sea una continua periodizada cada 5. y esto me lo da una x[n] de 5 deltas.
Pero la DFT es de 10 puntos. Entonces x[n] tiene que tener 5 deltas y ceros intercalados osea x[n]=[1,0,1,0,1,0,1,0]
Entonces a=b=1/2
Lo probé en el matlab y me dio ¿como puedo justificar esto mas "matematicamente"?
Re: Ejercicio 2 de Parcial
de PELLE PATRICIA ALEJANDRA - Uf! lo que decís está bien, pero como docente te puedo anticipar que es imposible corregirte como bien con esas explicaciones. A ver si me ayudás:
"Yo al ver
X(k)=[5,0,0,0,0,5,0,0,0,0]
y al ver que esto era la DFT de 10 puntos (la superposicion de a[n] y b([n]) no queda otra que x[n] sea periodica."
qué significa esto? No se entiende nada así, pero creo que es esto lo que querés decir: X(k) es una DFT de 10 puntos de alguna señal de 10 puntos obviamente. La relación con la señal original es que equivale a periodizar la original con período 10 (la superposicion de a[n] y b([n]), y tomar un período de esa señal. Era esto? Espero que sí, y si es así está bien. Sigo.
"No hay dos deltas de una senoidal en X(k) por lo que es muy probable que sea una continua periodizada cada 5. y esto me lo da una x[n] de 5 deltas."
?????? No entiendo nada. Una continua periodizada cada 5 sigue siendo una continua, o bien diverge. De dónde sacaste las 5 deltas? La otra parte que me autoexpliqué antes podría considerarse como bien. Pero esto parece ser una adivinanza. Recuerden la frase que ponemos siempre en los parciales. "cualquier resultado correcto que no está debidamente justificado no tienen ningún valor". Yo lo que no entiendo es porqué no hacen la IDFT por definición????? como les dije antes, es una IDFT trivial. Porqué complicarse así? Saludos,
Patricia
"Yo al ver
X(k)=[5,0,0,0,0,5,0,0,0,0]
y al ver que esto era la DFT de 10 puntos (la superposicion de a[n] y b([n]) no queda otra que x[n] sea periodica."
qué significa esto? No se entiende nada así, pero creo que es esto lo que querés decir: X(k) es una DFT de 10 puntos de alguna señal de 10 puntos obviamente. La relación con la señal original es que equivale a periodizar la original con período 10 (la superposicion de a[n] y b([n]), y tomar un período de esa señal. Era esto? Espero que sí, y si es así está bien. Sigo.
"No hay dos deltas de una senoidal en X(k) por lo que es muy probable que sea una continua periodizada cada 5. y esto me lo da una x[n] de 5 deltas."
?????? No entiendo nada. Una continua periodizada cada 5 sigue siendo una continua, o bien diverge. De dónde sacaste las 5 deltas? La otra parte que me autoexpliqué antes podría considerarse como bien. Pero esto parece ser una adivinanza. Recuerden la frase que ponemos siempre en los parciales. "cualquier resultado correcto que no está debidamente justificado no tienen ningún valor". Yo lo que no entiendo es porqué no hacen la IDFT por definición????? como les dije antes, es una IDFT trivial. Porqué complicarse así? Saludos,
Patricia