Buenos días,
Estaba revisando uno de los ejercicios resueltos de la guía 7 (El ejercicio Anexo II.5 que está en la página). En el punto que pide demostrar si la Serie Trigonométrica de Fourier converge de manera uniforme a 
. Dado que no se cumplen todas las hipótesis de la convergencia uniforme, entonces aclara que no se puede asegurar que la STF converja de manera uniforme a .
Mi duda es: Si que no cumplan las hipótesis implica que no converge o que no se puede asegurar que converja.
Saludos,
Federico.
Adjunto el inciso y copio el enunciado para no llenar de archivos.
Para la función: 
con 
Hola Federico, lo que indica la resolución es que "no se puede asegurar". Sin embargo la respuesta es incompleta, ya que se debes determinar si se da o no, posiblemente por otros argumentos. Que las hipótesis de un teorema no se cumplan no implica que la conclusión tampoco se dé. (por ejemplo "toda función diferenciable es continua"... si demostrás que una f no es diferenciable, no implica que f no sea continua).
Volviendo al punto en particular, hay un teorema importante que dice que "toda sucesión uniformemente convergente de funciones continuas, converge a una función contínua"
Aquí es de aplicación, ya que las sumas parciales de la serie de Fourier van formando una sucesión de funciones continuas (cada elemento de la sucesión es una combinación lineal (por ende finita) de funciones trigonométricas).
Si se diera la convergencia uniforme, la función límite debería ser continua. Como función límite no te limites al intervalo (f es continua en el intervalo de definición). Tenés que visualizar la extensión periódica de la función. Esa no es continua.
Entonces el razonamiento que me sale es "Por el teorema, si huviera CV uniforme, la extensión periódica de la función límite debería ser contínua. Como la extensión periódica de la función límite no es contínua, la CV no puede ser uniforme".
Espero haber sido claro.
Saludos
Julián
Sii muchisimas gracias Julian!
Saludos,
Federico
Hola, adjunto un ejercicio donde intente analizar la convergencia uniforme de una serie por definición, ya que no cumplía las hipótesis del teorema. Esta bien? Gracias
Hola,
La CV uniforme de la serie de fourier no puede darse cuando la extensión periódica de f no es contínua. (Fijate el teorema de CV uniforme de sucesión de funciones continuas que te respondí antes).
Lo que hacés no es correcto.
Primero reemplazás f(x) por su desarrollo en serie de Fourier... No veo la difinición de f en cero. debería ser cero o si no, no en todo punto la serie CV al valor de f(x).
Luego estás mayorando, no te sirve para concluir que la diferencia original "no se puede acotar por un e".
La desigualdad de Cauchy que planteas le falta una raiz cuadrada y módulos. En la suma de uno de los factores te queda k^2 dividiendo y converge. La serie que diverge es la otra.
Te dejo una idea para demostrar que no hay CV uniforme sin usar esa propiedad. Es complicada.
Podés usar que como la sucesíon de sumas parciales CV puntualmente y cada suma parcial es continua, entonces la suma parcial toma todos los valores intermedios... Bueno y ahí hay que batallarla y se vuelve un poco técnico... pararte en un x_0 cercano al cero, tomar un N tal que la suma parcial no diste mucho de f cuando se evalúa en +/- x_0, después argumentar que en (-x_0, +x_0) hay un x* donde f vale... podés poner .75*f(x_0)+0.25f(-x_0)... y ahí comparar. Es complicado pero sale...