Hola,
La CV uniforme de la serie de fourier no puede darse cuando la extensión periódica de f no es contínua. (Fijate el teorema de CV uniforme de sucesión de funciones continuas que te respondí antes).
Lo que hacés no es correcto.
Primero reemplazás f(x) por su desarrollo en serie de Fourier... No veo la difinición de f en cero. debería ser cero o si no, no en todo punto la serie CV al valor de f(x).
Luego estás mayorando, no te sirve para concluir que la diferencia original "no se puede acotar por un e".
La desigualdad de Cauchy que planteas le falta una raiz cuadrada y módulos. En la suma de uno de los factores te queda k^2 dividiendo y converge. La serie que diverge es la otra.
Te dejo una idea para demostrar que no hay CV uniforme sin usar esa propiedad. Es complicada.
Podés usar que como la sucesíon de sumas parciales CV puntualmente y cada suma parcial es continua, entonces la suma parcial toma todos los valores intermedios... Bueno y ahí hay que batallarla y se vuelve un poco técnico... pararte en un x_0 cercano al cero, tomar un N tal que la suma parcial no diste mucho de f cuando se evalúa en +/- x_0, después argumentar que en (-x_0, +x_0) hay un x* donde f vale... podés poner .75*f(x_0)+0.25f(-x_0)... y ahí comparar. Es complicado pero sale...