Buenas tardes! Estoy teniendo algunas dificultades intentando de entender este ejercicio que tomaron en un final (adjunto enunciado). Entiendo que la zona de convergencia es para 1/2<|z|<2 y que por lo tanto hay 3 zonas de desarrollo posibles. También veo que, luego de encontrar la expresión de f(z), se puede observar que para todo z menos z=1/2 y z=2 f(z) es holomorfa con lo cual el residuo en z=0 valdría 0.
Pero al mirar la resolución, lo que no entiendo es cómo llega a encontrar la expresión de f(z)=-(1/2z) para los valores de 0<|z|<1/2 cuando analiza la unión de la circunferencia 0<|z|<1/2 + 1/2<|z|<2.
Muchísimas gracias y saludos,
Andrea
Hola Andrea,
La respuesta correcta es la iii).
Lo que sucede es que lo único que sabés de la función es que ÚNICAMENTE EN LA CORONA 1/2<|z|<2 la función tiene ese desarrollo y por lo tanto corresponde a la función que allí te indican.
Sobre lo que sucede fuera de la corona, por los datos del enunciado no puedes determinar nada. Por lo tanto tampoco puedes analizar lo que sucede en un entorno de cero, que es lo que necesecitas para saber cual es el valor del residuo.
La expresión que indicas que no entiendes, es sólo un ejemplo, tomado al azar, en el cual se da que el valor del residuo sea -1/2 (-1/2z es la función más simple que se me ocurre con residuo -1/2 en z=0). Podría haber puesto -1/2z + sen(z), o cualquier otra función.
Por cierto aprovecho para indicarte que el radio de CV, que aquí lo calcula a partir de la función, lo puedes calcular directamente, haciendo el cálculo de L = límite cuando n tiende a infinito de la raíz enésima de a_n, y luego R=1/L.
Te paso un link donde en 4 páginas estan los teoremas con las demostraciones: http://www.mat.ucm.es/~dazagrar/docencia/SeriesDePotencias.pdf
Saludos
Julián
Impecable, muchísimas gracias Julián!