Buenas. Estaba intentando resolver el ejercicio de la siguiente manera:
X_1(Z) = X(Z) H(Z) = X(Z) (1 + 2 Z)
X_2(Z) = X_1(Z e^{-j a}) = X(Z e^{-j a}) ( 1 + 2 Z e^{-j a})
X_3(Z) = X_2(Z) H_2(Z) = (X(Z e^{-j a}) ( 1 + 2 Z e^{-j a) ) / (1 - 1/2 Z^{-1})
Y(Z) = X_3(Z e^{-j a}) = (X(Z e^{-j 2 a}) ( 1 + 2 Z e^{-j 2 a})) / (1 - 1/2 e^{-j a} Z^{-1})

Entonces, si es LTI, tengo que poder escribir el sistema de la forma Y(Z) = X(Z) H(Z)

Para que en la expresion de Y(Z) me quede en funcion de X(Z) necesito que e^{-j 2 a}=1, por lo tanto a = k pi, y H(Z)=(1+2 Z)/(1-1/2 Z^{-1}(-1)^k), o sea que me quedan 2 posibles sistemas, uno si k es par y otro si es impar.

Luego, para ver la ROC: H_1(Z) converge para todo Z. Al multiplicar por la exponencial no modifico la ROC y al convolucionar con h_2 ( n ) me queda que la ROC es, al menos, la interseccion de las ROCS de H_1(Z) y H_2(Z), o sea, la interseccion de todo el plano con la de |Z|>1/2 (ya que H_2(Z) es a derecha).

Aca viene la parte en la que tengo dudas:

Luego nos piden el valor de $\alpha$ para el cual el sistema es causal, pero no lo es para ninguno, ya que

h ( n ) = (± 1/2)^n U( n ) + 2 (± 1/2)^{n+1} U( n+1 )

Y sin importar cual de los 2 valores de k tomemos, el sistema no es causal.

Lo mismo pasa para la condicion de estabilidad. Para ambos $k$ la ROC incluye al circulo unitario, por lo que es estable.

---

Parece que no hay vuelta que darle, el filtro de $LaTex$ no funciona como corresponde ¬_¬