Tengo la función H(w)=sin(7w/2)/sin(w/2) y las funciones DFT, IDFT con restriccion de 4 puntos. Me piden usar estas funciones para diseñar un filtro que coincida en la mayor cantidad de puntos posibles con H(w).

Como puedo usar DFT/IDFT de 4 puntos, la respuesta en frecuencia puedo garantizar que sea la misma solo para 4 puntos: 0, pi/2, pi y 3pi/2.

h( n ) = [1 1 1 1 1 1 1] (donde   indica la posicion del cero)

Como muestrear la respuesta en frecuencia equivale a periodizar en el tiempo, periodizamos con T=4 y nos queda que h1p( n ) = [1 2 2 2] periódica.
Desperiodizar esta función en el tiempo (ventaneo en tiempo, interpolacion en frecuencia) equivale a IDFT([H(0) H(pi/2) H(pi) H(3pi/2)]).
Entonces h1( n ) = [1 2 2 2] es la respuesta impulsiva del filtro encontrado.

Para la parte (b) (dibujar H1(w) o su modulo), vemos que

H1(w) = -1 + \sum_0^3 2 e^{-jwn} =-1 + 2 (1 - e^{-jw4})/(1-e^{-jw})

H1(w) = -1 + 2 e^{-j w 3/2} sin(2 w)/sin(w/2)

Entonces vemos que
H1(0) = -1 + 2 * 4 = 7 = H(0)
H1(pi/2) = -1 + 2 * 0 = -1 = H(pi/2)
H1(pi) = -1 + 2 * 0 = -1 = H(pi)
H1(3pi/2) = -1 + 2 * 0 = -1 = H(3pi/2)

Y en módulo: