Hola! En el ejercicio 8 se pide demostrar que los filtros H_k(z) son reales. Traté de pensarlo a través de la propiedad de conjugación de la transformada Z, es decir, si x(n) es real entonces x(n) = x*(n) --> X(z) = X*(z*) pero no logro demostrarlo. ¿Es por este camino o hay que llegar a la expresión final de que h_k(n) se puede escribir como un único filtro h0(n) multiplicado por un coseno?
Muchas gracias!
Ambos métodos son posibles para demostrar esto. No te olvides que todo parte de un h0(n) que es real, es decir que H0(z) ya cumple eso que vos decís. Hay que armar Uk(z) y Gk(z) a partir de H0(z) y multiplicarlos por ak y ak*. También vale hacerlo en frecuencia y mostrar que la parte real es par y la imaginaria es impar. Saludos,
Patricia
En este ejercicio. Plantie al Uk(z) y Gk(z) en funcion de H0(z), y multiplique por ak y ak* Como dijo Patricia.
Una vez hecho eso, plantie Hk(z) y H*k(z*) Y en teoria deberia demostrar que son iguales. Pero termino solamente imponiendo la condicion de que ak=ak*. De casualidad en algun momento anterior puedo asegurar que son iguales, para que no sea una condicion y asi poder demostrar lo pedido?
No, no deberías necesitar que ak = a*k. Es posible demostrar la igualdad sin eso. Yo usé ak = a+jb, para ordenarme, porque sino siempre me equivocaba, y dio. Pero igualmente, me parece más recomendable (desde el punto de vista de estudiar Señales y Sistemas) hacerlo en frecuencia, planteando las condiciones sobre la transformada de Fourier. Son las mismas traducidas a Fourier (parte par es real y parte impar imaginaria pura), pero es más gráfico. Es más difícil pensar gráficamente una función como H(z). Saludos,
Patricia
Yo supondría que tengo un filtro H(w) tipo pasabajos de ancho de banda 2pi/4M (es decir que la banda de paso va de -2pi/4M a 2pi/4M) cuya respuesta impulsiva h[n] es real. Con ese filtro te podes armar los filtros Hk(w) = ak*Uk(w) + bk*Gk(w) diciendo que tanto Uk(w) como Gk(w) se obtienen desplazando H(w) en frecuencia. Dichos desplazamientos van a implicar que en el tiempo tenga productos por exponenciales complejas. Trabajando con esas exponenciales vas a poder demostrar que hk[n] es real, es probable que por ahi te aparezca el coseno que mencionas, saludos!.
Buenísimo, me re sirvió! Pude encontrar la solución. Muchísimas gracias por las respuestas!