Buenas, me encuentro resolviendo el 69.13 y llegue a un punto donde no sabria como avanzar, y no se si esta bien planteado, encontre una singularidad esencial y para hallar su residuo estoy armando la serie de Laurent pero no se como debo seguir para encontrar el termino a(-1) ya que estan multiplicandose las dos funciones. Dejo mi resolucion, saludos!
Jessica,
Esta bien la resolucion q encaraste. Fijate que en ambas series te falta poner la region de convergencia.
Si f(z) = sen(1/z) / (z * (z+2)) entonces podemos ver a f(z) = f1(z) * f2(z) donde
f1(z) = sen(1/z) = sum(0 a inf) (-1)^n (1/z)^(2n+1) / (2n+1)! para 0<|z|<inf
f2(z) = 1/z(z+2) fijate q en este caso tenemos 2 posibles regiones de convergencia si esta centrada en z0 = 0: |z| > 2 o |z| < 2. Como necesitamos el desarrollo alrededor de 0 la unica region que sirve es |z|<2.
f2(z) = 1/(z(z+2)) = 1/z * sum(0 a inf) (-1)^n (z/2)^n = sum(0 a inf) (-1/2)^n z^(n-1) para |z|<2
Y ahora solo resta calcular el producto de series de la misma manera que (por ejemplo) esta resuelto en el ejercicio 66.07 (http://materias.fi.uba.ar/6113/TP4/TP4_66.7_archivos/AM3%20Murmis%20TP4%20-%20Ej.%2066.7.pdf)
Claro ,interesa la zona de !z!<2 , y después la resolución para encontrar a-1 seria armando una tabla y realizar el producto entre los terminos de cada serie. Gracias!