Estamos con duda de como calcular la ROC{H(s)}.
Sabemos que la ROC{X(s)} es a derecha, a partir de dos. Y la ROC{Y(s)} es una franja entre -1 y 2.
Al calcular H(s) los polos nos dan que son -2 y -1. Sabemos que no es causal porque la y(t) viene de -inf y por la ubicación de sus polos tampoco puede ser estable por lo que nos quedan dos opciones de ROC{H(s)}. Una es una franja entre -2 y -1 y la otra es a izquierda a partir de -2. Lo que no sabemos en con cual quedarnos.
Buenas,
planteando el problema llego a otros resultados.
Primero, no coincido con tu ROC de X(s). A mi me queda izquierda usando el siguiente razonamiento:
Dado que x(t) es una señal izquierda para todo t<2 entonces resulta ROC{X(s)}=ROC{Re(x)<2} por ende la ROC de X(s) es izquierda.
Con respecto a la ROC de Y(s) coincido con lo que decís y me queda entre -1 y 2, ó sea ROC{-1<Re(s)<2}.
Para hallar las ROC de H(x), utilizo la propiedad que dice que siendo el sistema es LTI entonces sucede: Y(s)=H(s).X(s) y que la ROC de Y(s) es la intersección de ROC{X(s)} y ROC{H(s)}.
Siendo que H(s) tiene 3 ROC posibles (ROC{Re(s)<-2}; ROC{-2<Re(s)<1} y ROC{Re(s)>-1}) para que coincida (ROC{X(s)} & ROC{H(s)}) con ROC{Y(s)}, la única ROC compatible es la tercera: ROC{Re(s)>-1}.
Con lo cual es sistema resultará causal y estable, dado su transferencia contiene al eje jw y al +inf.
Creo que es así esto..
Continuando el ejercicio encontré algo que no estoy entendiendo..
El problema es que no coincide el resultado del punto "b" con la del punto "a".
Los resultados calculados y datos del punta "a" son los siguiente:
X(s) = exp(-2s)*(s+2) / (s+1), ROC{X(s)} = ROC{Re(s)<2}.
Y(s) = 2/(3(s-2)) + 1/(3(s+1)), ROC{Y(s)} = ROC{-1<Re(s)<2}
H(s) = s.exp(2s)/((s+2)(s+1)), ROC{H(s)} = ROC{Re(s)>-1}
A partir de estos datos y la tabla de transformada de Laplace encuentro que la respuesta al impulso en tiempo es:
h(t) = -exp(-(t+2)).u(t+2) + 2.exp(-2(t+2)).u(t+2)
El resultado de h(t) muestra que el sistema es no causal contradicendo lo dicho en el punto anterior donde me basé en la característica de la ROC{H(s)} para definir la causalidad y estabilidad del sistema.
¿Cual es el problema acá? Revisé las cuentas varias veces y el problema no está ahí creo... ¿Puede ser que haya deducido mal la ROC de H(s)?