Buenas.Estoy hace rato dandole vueltas a este ejercicio y la forma en que se me ocurre plantearlo es la siguiente:
a) La respuesta creo que es que no y la desmostración que se me ocurre es la siguiente:
Sea X_e[k] la DFT de N puntos de x_e[n]. Por lo tanto, como x_e[n] es la versión par de de x[n] su representación es simétrica respecto al eje y, sin embargo para realizar la dft de N puntos tendremos que periodizar x_e[n] y tomar los puntos entre 0 y N-1. La periodización dará lugar a que todo lo que se encuentre de lado izquierdo del eje y se desplace N veces a la derecha. Con lo cual la expresión periodizada de x_e[n] entre 0 y N-1 podrá definirse de la siguiente manera:
x_e[n] = (x[n] + x[-n-N])/2
Sabemos que la DFT de x[n] es X[k], resta entonces hallar la DFT de x[-n-N]. A partir de las propiedades de reflexión respecto al eje y y desplazamiento temporal podemos decir que la DFT de x[-n-N] entre 0 y N-1 corresponde a la siguiente expresión:
DFT( x[-n-N] ) = X[-k]W(k*N , N)
El deplazamiento en N no afecta a los valores de la DFT dado que W(k*n , N) = W(k*(n+N),N).
Entonces puede decirse que: DFT( x[-n-N] ) = X[-k]
(Acá es donde no estoy seguro)
Queda entonces:
X_e[k] = (X[k] + X[-k])/2 != Re(X[k])
Con lo cual parece ser falso, X_e[k] y Re(X[k]) son distintos.
Estuve buscando contraejemplos para sostener esto y no encuentré ninguno que funcione. De hecho aparentemente todos cumplen con esta propiedad. Probé tomando una delta desplazada cambiandole el tamaño al N básicamente. Donde me estoy equivocando? X[-k] no es igual a X*[k] no?
Yo lo había encarado la otra vez, pero con dudas también. Ahora lo estoy volviendo a hacer y también me daría la impresión de que X_e[k] != Re(X[k]). Yo lo pensé de la siguiente manera:
X_e[k] = DFT(de N puntos) {x_e[n]} --> Por definición
______= 1/2*(X[k] + DFT(de N puntos){x_e[-n]}) --> Aplicar linealidad con x_e[n]
Como en la consigna nos dicen que x_e[n] está limitada al intervalo 0,...,N-1, entonces tranquilamente podemos asumir que x_e[-n] = 0 (o cualquier otra cosa que no nos interesa, pero es más fácil con 0). En este caso (cuando es cero) queda
X_e[k] = 1/2*X[k] + cte != Re(X[k])
donde la constante es producto del posible valor !=0 que queda en x_e[-n] cuando n=0 (es decir x[-0]).
En la tabla de propiedades de la DFT del Schaffer, la propiedad 13 es la que nos respalda! jaja La única forma de que lo de la consigna sea verdadero sería si x[n] es real y además simétrica con respecto al eje.
Ojo que el enunciado no dice que x_e(n) = 0 para n<0, la que cumple eso es x(n), no x_e(n). De hecho, obviamente que no puede cumplirlo porque es par. La única función par que cumple eso es \delta(n).
Lo que dicen es cierto, no son iguales. La pregunta que tienen que hacer es cuál es la señal cuya DFT es Re(X(k)) (que además lo pregunta en la parte c)). Yo empezaría al revés, empezaría desde el dominio transformado a buscar:
Re(X(k)) = 1/2[X(k) + X*(k)]
Eso lo podés buscar en el Schaffer, o deducir qué es. Fijate que también pueden decirlo como dice el Schaffer, Re(X(k)) es la DFT de la parte "circularmente par" de x(n). O sea, tomar los N puntos de un período de la periodización en N de la parte par de x(n). Toda esa frase larga, significa lo mismo que lo que dice el Schaffer. Todas las propiedades de la transformada continua se cumplen en la discreta "circularmente". Está bueno saber qué significado concreto tienen esas frases antes de ir a dar coloquio. Saludos,
Patricia
Gracias por tu respuesta. Más claro imposible.
En cuanto al tema de tomar la parte par de una función circularmente, entiendo que se refiere a periodizar la señal par con periodo N, estoy en lo correcto?
En este caso concreto sí se cumplirá la propiedad que enuncia el ejercicio, puesto que periodizando aparecen las versiones conjugadas de la señal original, no?
saludos
En realidad la respuesta es NO, porque no te da la señal x_e(n), sino la periodización, pero tomando las muestras desde 0 a N-1. Suponé que x(n) tiene muestras de 0 a 3, vos tomás la DFT de longitud 8, le sacás la parte real y le hacés la inversa DFT. Lo que te va a dar son muestras entre 0 y 7, y la parte par de x(n) debería ir entre -3 y 3. Pero SI NO HICISTE ALIASIGN TEMPORAL (con esa cantidad de puntos por ejemplo no lo tenés) vos podrías "acomodarla" para que esté en la posición correcta. Espero que se entienda. Con un ejemplito en octave, te vas a dar cuenta. Saludos
Patricia
Se entendió perfecto! gracias :)