86.05/66.74: Justificación correcta de un ejercicio de DFT

Buenas tardes, quería saber si estaba bien escrita la justificación del siguiente ejercicio para poder saber si entendí como debería justificar correctamente los ejercicios de este tema.

Ejercicio: Hallar una señal x2[n] de longitud finita N donde se cumpla que:

1- X2[k]= X1(e^jw)|_w=2*pi*k/Nes su DFT de N puntos (o sea que k va de 0 a N-1)

2- X1(e^jw)=1/(1-1/4e^-jw) es la transformada de Fourier de x1[n].

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Lo que hago es:
1-Hallo x1[n] y me doy cuenta que es de longitud infinita.

2- Una DFT proporciona N muestras equidistantes tomadas en [0, 2pi) de la transformada de Fourier de una señal en tiempo discreto.

Para el ejercicio las muestras las obtengo del espectro de X1(e^jw) , o sea nos queda X1(e^jw)|_{w=2*pi*k/N, k={0,....,N-1}}

Entonces, la IDFT de X2[k] me da los N valores de la señal x2[n] entre 0 y N-1.

Me doy cuenta que si periodizo la señal x1[n] en T=N y le tomo la serie de Fourier, obtengo el espectro de x1[n] muestreado en w=2*pi*k/N, sin restricciones para k.

Entonces viendo (1):
X2[k] = ak, k={0,...,N-1}

En el tiempo esto se traduce como que x2[n] es la señal obtenida al tomar la señal periodizada de x1[n] para n={0,...,N-1}, por lo cual los pasos a seguir son:

a) periodizo la señal x1[n] en período T=N

b) Obtengo una expresión cerrada de la periodización de x1[n] y la restrinjo a su primer período, es decir, que sería: x2[n]= x1[n] periodizada entre n y N-1 y cero para otros n.

Muchas gracias!

Saludos.

Correcto.

Tené en cuenta sólamente que cuando defininimos la DFT, no normalizamos por N, mientras que para los coeficientes de Fourier si. Es un detalle. Pero tenelo en cuenta.

Saludos

Hola, al ver esto me surge una duda, no sé si hay algo que no estoy entendiendo, o el enunciado/planteo puedan tener algún error.

Una DFT proporciona $N$ muestras equidistantes tomadas en $[0, 2\pi)$ de la transformada de Fourier de una señal finita. Entiendo que ahí es donde aparece el concepto de extensión periódica de la misma y los coeficientes de su desarrollo en serie de Fourier, con la salvedad de la normalización por $N$ , coinciden con esas muestras. Si la señal no fuera finita, su "periodización" tendría solapamiento temporal (de hecho no sería una señal periódica).

Pero $x_1[n] = \mathcal{F}^{-1} \left\{ \frac{1}{1 - \frac{1}{4} e^{-j\omega}} \right\} = {\left(\frac{1}{4}\right)}^n \ u[n]$ no es finita. Entonces para periodizar la señal $x_1[n]$ , primero la tengo que restringir a $N$ puntos, creo que a esto se refiere Verónica cuando habla de la señal periodizada de $x_1[n]$ . Si a esa periodización le tomo la serie de Fourier, no obtengo muestras del espectro $X_1\left(e^{j\omega}\right) = \mathcal{F} \left\{ x_1[n] \right\}$ (con la salvedad de la normalización) sino que lo que se está muestreando es $\mathcal{F} \left\{ x_1[n] \cdot w[n] \right\}$ , donde $w[n] = u[n] - u[n-N]$ es la ventana para quedarme con $N$ puntos de $x_1[n]$ y evitar el aliasing temporal. Eso en el dominio de la frecuencia, según entiendo sería una constante por la convolución periódica de $X_1\left(e^{j\omega}\right)$ con la "sinc discreta" $e^{-j\omega\frac{(N-1)}{2}}\,\frac{\sin\left(\frac{\omega N}{2}\right)}{\sin\left(\frac{\omega}{2}\right)}$ .

No entiendo entonces cómo relacionar $x_1[n]$ con $x_2[n]$ . Si intento pensar en una extensión periódica de $x_2[n]$ cuya transformada de Fourier sea $X_1\left(e^{j\omega}\right)$ , me topo con que esa misma $X_1\left(e^{j\omega}\right)$ es una transformada de Fourier de una señal no periódica, $x_1[n]$ . Quizás puede existir una transformada de Fourier de la extensión periódica de $x_2[n]$ que coincida con $X_1\left(e^{j\omega}\right)$ solamente en los $N$ puntos, pero no se me ocurre cómo hallarla.

Por otro lado, el planteo de Verónica para $N$ suficientemente grande es una buena aproximación, ya que $x_1[n]$ es decreciente y su versión ventaneada se vuelve parecida a la version infinita (la energía de la diferencia tiende a cero cuando $N \rightarrow \infty$ ), por lo que la transformada de Fourier de la versión ventaneada también debiera aproximar a $X_1\left(e^{j\omega}\right)$ (porque la "sinc discreta" se aproximaría a la delta que es la identidad de la convolución). Entonces los los coeficientes del desarrollo en serie de Fourier de su periodización también aproximarían bien a las muestras $X_1\left(e^{j\omega}\right)\rvert_{\omega = \frac{2\pi k}{N},\ k=0,\,\dots,\,N-1}$ (nuevamente, con la salvedad de la normalización) y podemos decir que $x_2[n]$ es un recorte de $N$ puntos de $x_1[n]$ . Si estoy en lo correcto, ¿estaría bien resolver el ejercicio con esta aproximación, como lo plantea ella?, ¿o el ejercicio es en realidad más complicado y no estoy sabiendo cómo resolverlo?

Disculpas si no logré ser claro, saludos.

Siempre podes periodizar una señal por más que sea de longitud infinita. Cómo lo hacés? Así:

$\tilde{x}[n]=\sum_{k=-\infty}^\infty x[n-kN]$

La señal resultante es periodica con periodo N. El único cuidado que hay que tener es que la suma converja.

Esa es la señal periódica que tenes que generar en el ejercicio.

Saludos

Gracias por la respuesta, mi primer error estaba en pensar que no se podía periodizar una señal infinita. Luego me surgió un segundo error al asumir que la DFT no muestreaba a $X_1\left(e^{j\omega}\right)$ por ser $x_1[n]$ infinita y haber solapamiento temporal al periodizarla.

Para pasar en limpio, si entendí bien, en realidad el solapamiento temporal lo que impide es recuperar $x_1[n]$ a partir de $\tilde{x_1}[n]$ . Pero la DFT sigue muestreando a $X_1\left(e^{j\omega}\right)$ porque en todo el análisis que se hace en el dominio de la frecuencia a partir de la siguiente ecuación temporal no hay restricciones respecto del solapamiento, sino que lo importante es la periodicidad de $\tilde{x_1}[n]$ y lo que eso implica en $\tilde{X_1}\left(e^{j\omega}\right)$ :
$\displaystyle \tilde{x_1}[n] = x_1[n]\ *\ \tilde{p}[n] = x_1[n]\ * \sum_{k=-\infty}^\infty \delta[n-kN] = \sum_{k=-\infty}^\infty x_1[n-kN]$

Creo que la analogía con el muestreo en el tiempo sería que al muestrear con aliasing una señal de espectro infinito no se puede recuperar la señal original, no obstante la señal va a ser igual a las muestras en esos instantes (asumiendo muestras en $\mathbb{R}$ sin considerar efectos de cuantización).

Correcto!

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