Sea
$f_n:t \mapsto \begin{cases} 1 & t\in \left(n-\frac{1}{2}\left(\frac{1}{n}\right)^2,\; n+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{n}\right)^2\right) \\ 0 & \text{en otro caso} \end{cases}$

Y además:
$\displaystyle \int_\mathbb{R}{f_n} = \left(\frac{1}{n}\right)^2$
porque simplemente es un pulso de ancho $\left(\frac{1}{n}\right)^2$ y altura 1

Definiendo:
$\displaystyle f = \sum_{n\in\mathbb{N}}f_n$
Se tiene:
$\displaystyle \left|f\right|^2=f \implies \left|\sum_{n\in\mathbb{N}}{f_n}\right|^2=\sum_{n\in\mathbb{N}}{f_n}$
Entonces:
$\displaystyle \int_\mathbb{R}{\left|\sum_{n\in\mathbb{N}}{f_n}\right|^2} = \int_\mathbb{R}{\sum_{n\in\mathbb{N}}{f_n}}= \sum_{n\in \mathbb{N}}{\int_\mathbb{R}{f_n}}=\sum_{n\in\mathbb{N}}{\left(\frac{1}{n}\right)^2}=\frac{\pi^2}{6} \implies f\in L_2$

Pero:
$\displaystyle \nexists \lim_{t\to \infty}f(t)$

¿Faltaría enunciar esa condición extra (que el límite exista) o estoy entendiendo algo mal?

Desde ya, ¡muchas gracias!