Buenas, durante las semanas de devolucion del parcial estuve enfermo y no pude ir. Me quedaron un par de dudas sobre los puntos teoricos. En un punto planteaba esta funcion.

definida en 0 como 0, preguntaba si era continua y (si mal no recuerdo) si era holomorfa. Para la parte de continua lo que se me ocurrió era decir que sucede lo mismo que con sen(x)/x, que tiende a 0 ¿hay algun argumento más solido para respaldar con complejos porque es continua?.

Para lo de holomorfa no recuerdo que puse en el parcial, pero re planteandolo se me ocurrio hacer una variable u=1/(z-1), hacer la serie de eso y ver si tenia terminos de expoenente de z negativos. Como me dio que tenia un termino negativo, la funcion no era analítica alrededor de z=1 y por lo tanto tampoco holomorfa en ese punto. Para que sea holomorfa tiene que ser derivable en un punto y en todo un entorno de este. Siendo que solo es un punto donde la función no es holomorfa, ¿puedo afirmar que es derivable en el mismo dominio de donde es holomorfa?

Respecto a otro punto teorico donde estaba esta funcion:

Preguntaba si era verdadero que ese limite daba 0 (creo). Lo que se me ocurrió replanteandolo (viendolo en una perspectiva de 1 variable) es que como la funcion 1/z^2 es par (para complejos tambien), cuando ambos lados de la funcion se acercan a 0, ambos tienden a infinito (no se como traducir correctamente este "acercamiento de ambos lados" a terminos de variable compleja)  por lo tanto el limite tendiendo a 0 de -1/z^2 es - infinito y e^-inf tiende a 0, por lo tanto era verdadera ¿es correcto este razonamiento?

Respecto a esa funcion tenia una duda. Yo no tengo definido f(0), por lo tanto no es continua. La primera derivada me da (haciendo por reglas de derivacion comun):

De nuevo, no definida en 0 ¿alcanza poder derivar asi por ser composicion de funciones derivables y ver que no esta definida solo en 0 para afirmar que es holomorfa en todo C - {0} ?. Para decir que 0 es una singularidad de f(z) la definicion de los apuntes dice que 0 no tendría que pertenecer al dominio de holomorfía.

Si f(0) no esta definida pero f'(0) si, ¿0 es una singularidad?

Mi ultima pregunta es respecto a las singularidades evitables. Cuando se hace el limite de f(z) hacia la singularidad ¿dan 0 porque carecen de terminos de potencia negativas en los desarrollos en serie o porque el termino z^-1 es 0? La 1° opcion la leí de algun lado y (si no interpreté mal alguna definicion) parece lo mismo que la definición de analítica. En la funcion de arriba, como da un numero finito, sería evitable y con lo mencionado en este parrafo me trae confusion afirmar que no es ni analítica, ni holomorfa y por ende que 0 sea una singularidad realmente ¿cual sería la diferencia entre analítica y holomorfa? yo estoy tomando que son lo mismo.

Saludos y disculpen las molestias.