Buenas tardes! Tengo una consulta sobre este ejercicio (adjunto el enunciado) de Serie de Laurent.
Desarrolle por una parte la función cos(z) y por el otro sen(1/z) y luego las multiplique. Sé que ambas convergen para todo z, por ende la multiplicación también. Mi dude surge si esto a su vez indica que converge para 0<|z|<inf, que es lo que pide el enunciado.
Por el otro lado, piden el Res(0). Lo que se me ocurrió fue afirmar que como el desarrollo en serie al rededor de z=0 tiene infinitas potencias negativas, el punto z=0 es esencial y podría encontrar su Res sabiendo que es el término a-1, el cual se identifica a la vista a partir de la serie. Es correcto el razonamiento o hay algún error que se me esta pasando?
Saludos y muchísimas gracias!
No convergen para todo z, para z=0, la función sen(1/z) no está definida y la serie tampoco.Por eso ponen 0<|z|.
El razonamiento con respecto al tipo de singularidad en cero es correcto, lamentablemente no te queda otra que calcularlo a partir del DSL. Tambíen podrías calcular el residuo en infinito y obtener el de cero sabiendo que suman cero, pero la situación es similar. El valor de a_1 hallado parece correcto (no revisé las cuentas).
Ahora, para el punto a), lo que hallaste en el ejercicio no es un DSL de la función, sino una expresión que es un producto de dos series de Laurent. Un DSL es una serie del tipo:
donde conocés el valor de a_n para todo n entero.
Si hallás la expresión de los coeficientes para todo n, la serie del producto es:
Donde
y la suma es para todos los k enteros.
(ojo todos los enteros, incluye los positivos, negativos, pares e impares, y la suma la hacés para todos los valores de k. El coeficiente que buscás es el que corresponde a n=-1
No salieron las imágenes...
Perfecto Julián! No termino de entender bien cómo pasar a escribir el producto de series a un desarrollo en Serie de Laurent pero el martes en las clases de consulta lo vuelvo a preguntar.
Muchísimas gracias!!
Ahí va una foto
Gracias!
Que tal tengo una resolucion alternativa quiero saber que les parece
Usando la siguiente identidad trigonometrica
Sen(A)+Sen(B)=2Sen((A+B)/2)Cos((A-B)/2)
entonces digo
2Z=A+B
2/Z=A-B
Despejo y obtengo
B=2Z-2/Z
A=2Z
Por lo que
cosz*sen1/z=0.5(2cosz*sen1/z) = 0.5(sen2z+sen(2z-2/Z))
entonces logre separar el producto en sumas y de esa manera puedo facilmente plantiar la serie para cada seno
que les parece?
Hola, puede ser que sirva, el tema es cuando tenés que hallar el DSL del término sen(2z-2/Z) en potencias de z. No se me ocurre cómo harías sin que te quede un producto de senos y cosenos nuevamente. A mi me dió A=z+1/z y B=z-1/z con lo que la situación se complica.