Ejercicio de Paricial -Transf. Z-
de Riobó Lucas Matías - Hola a todos.
Queria saber si la forma de resolver el ejercicio esta bien demostrada, aunque tengo unas dudas sobre algunos puntos.
El ejercicio dice:
Sea un sistema LTI, cuya respuesta al impulso es h(n ) y su transformada Z es H(z) y se conocen los siguientes datos:
1) Si la entrada es x(n )=1 para todo n, entonces su salida y(n )=0 para todo n.
2) La señal h(n-2)+2h(n-1)+2h(n ) es de duración finita.
3) Es un sistema IIR.
4) No tiene polos en infinito.
5) h(n=0) es igual a 1.
6) H(z) contiene un solo cero (exceptuando posiblemente en z=0 y en z=infinito).
1.a) Determinar la estabilidad y causalidad del sistema.
Por (1) y usando la definicion de convolucion, nos queda que la sumatoria de menos infinio a infinito de h(n ) tiene que dar cero. A su vez, H(z=1) también nos da cero utilizando la definicion de Transformada Z. Por lo que en z=1 tenemos un cero, que es al que se refiere (6).
Por (2), al quedar una señal de duracion finita, indica que su ROC es todo el plano z. La operacion de corrimiento en el tiempo no modifica la ROC (puede agregar algun polo en el infinito o cero). Por lo tanto, la ROC de h(n ) es todo el plano Z. Si la ROC es todo el plano z, contiene al circulo unitario y h(n ) es estable.
Por (4)-(2)-(3) y utilizando la definición de TF Z, indica que la señal es a derecha. Por lo tanto es Causal.
1.b) Se puede determinar unìvocamente H(z)? De ser asi, encuentrela. En caso contrario, mencionar un contraejemplo que muestre que hay mas de una solución posible.
La TFZ siempre es unívoca dado una función en el tiempo. Entonces el enunciado creo que se reduce a encontrar (si existen) varias funciones si existen en el tiempo que cumplan con lo especificado.
Acá es donde tengo el problema. Se me ocurren formas de h(n ) tales como
h(n )=(-1)^n y h(n )=2*delta(n ) - (1/2)^n con n>=0.
Pero creo que no cumplen haciendo lo que dicen en (2) que sean una señal de duracion finita.
Queria saber si la forma de resolver el ejercicio esta bien demostrada, aunque tengo unas dudas sobre algunos puntos.
El ejercicio dice:
Sea un sistema LTI, cuya respuesta al impulso es h(n ) y su transformada Z es H(z) y se conocen los siguientes datos:
1) Si la entrada es x(n )=1 para todo n, entonces su salida y(n )=0 para todo n.
2) La señal h(n-2)+2h(n-1)+2h(n ) es de duración finita.
3) Es un sistema IIR.
4) No tiene polos en infinito.
5) h(n=0) es igual a 1.
6) H(z) contiene un solo cero (exceptuando posiblemente en z=0 y en z=infinito).
1.a) Determinar la estabilidad y causalidad del sistema.
Por (1) y usando la definicion de convolucion, nos queda que la sumatoria de menos infinio a infinito de h(n ) tiene que dar cero. A su vez, H(z=1) también nos da cero utilizando la definicion de Transformada Z. Por lo que en z=1 tenemos un cero, que es al que se refiere (6).
Por (2), al quedar una señal de duracion finita, indica que su ROC es todo el plano z. La operacion de corrimiento en el tiempo no modifica la ROC (puede agregar algun polo en el infinito o cero). Por lo tanto, la ROC de h(n ) es todo el plano Z. Si la ROC es todo el plano z, contiene al circulo unitario y h(n ) es estable.
Por (4)-(2)-(3) y utilizando la definición de TF Z, indica que la señal es a derecha. Por lo tanto es Causal.
1.b) Se puede determinar unìvocamente H(z)? De ser asi, encuentrela. En caso contrario, mencionar un contraejemplo que muestre que hay mas de una solución posible.
La TFZ siempre es unívoca dado una función en el tiempo. Entonces el enunciado creo que se reduce a encontrar (si existen) varias funciones si existen en el tiempo que cumplan con lo especificado.
Acá es donde tengo el problema. Se me ocurren formas de h(n ) tales como
h(n )=(-1)^n y h(n )=2*delta(n ) - (1/2)^n con n>=0.
Pero creo que no cumplen haciendo lo que dicen en (2) que sean una señal de duracion finita.
Re: Ejercicio de Paricial -Transf. Z-
de PELLE PATRICIA ALEJANDRA - En la parte uno, tu conclusión es correcta. La señal x( n ) = 1 es una autofunción, y por lo tanto, si sabés la salida, vas a poder escribir
y( n ) = N. x( n ),
donde N es H(z_0), y vale cero. Ese z_0 es en este caso z_0 = 1, ya que x( n ) = z_0^n = 1^n = 1.
La parte 2 está mal. Un corrimiento en tiempo no afecta la ROC, pero correr la señal en varios desplazamientos distintos y luego sumarla multiplicada por coeficientes es aplicar un sistema LTI a la señal. Y los sistemas LTI pueden cambiarte la ROC de la entrada obviamente. Vos tenes que encontrar la rta al impulso de ese sist. LTI y después fijarte que pasa cuando multiplicas la ROC del sistema original por la ROC del sistema que encontraste.
Otra pista de que esto es así es que te dicen que el sistema es IIR, y que lo que decís está mal te lo tiene que dar la condición 3. Si el sistema es IIR, tiene polos, y por lo tanto su ROC no es todo el plano.
Lo siguiente que decís está más o menos bien. La señal es a derecha por 3-4. (el 2, olvidátelo. Pista: está para que sepas dónde están los polos finitos que tiene el sistema).
Respecto a las h( n ) que proponés:
- h( n ) = (-1)^n para todo n, es muy extraña. Para empezar no tiene transformada Z. Creo que quisiste decir (-1)^n .u( n ), no? Pero ese sistema no es estable, ni tiene como ROC todo el plano. Esas incoherencias se pagan caro. En general se considera que una incoherencia así anula todo lo que hayas puesto bien antes.
- h( n ) =2 delta( n ) - (1/2) ^ n. u( n ). Bueno, por lo menos este es estable y a derecha. No te va anular la parte anterior que dijiste, pero no tiene justificación. O sea que no se va a contar ningún punto por ella.
Espero que esta descripción de cómo pensamos los docentes al corregir ayude a que entiendan como tienen que responder, y no a ponerlos más nerviosos... Espero, es mi intención. Por favor, cuando lo resuelvas, mandame también la respuesta. Saludos,
Patricia
y( n ) = N. x( n ),
donde N es H(z_0), y vale cero. Ese z_0 es en este caso z_0 = 1, ya que x( n ) = z_0^n = 1^n = 1.
La parte 2 está mal. Un corrimiento en tiempo no afecta la ROC, pero correr la señal en varios desplazamientos distintos y luego sumarla multiplicada por coeficientes es aplicar un sistema LTI a la señal. Y los sistemas LTI pueden cambiarte la ROC de la entrada obviamente. Vos tenes que encontrar la rta al impulso de ese sist. LTI y después fijarte que pasa cuando multiplicas la ROC del sistema original por la ROC del sistema que encontraste.
Otra pista de que esto es así es que te dicen que el sistema es IIR, y que lo que decís está mal te lo tiene que dar la condición 3. Si el sistema es IIR, tiene polos, y por lo tanto su ROC no es todo el plano.
Lo siguiente que decís está más o menos bien. La señal es a derecha por 3-4. (el 2, olvidátelo. Pista: está para que sepas dónde están los polos finitos que tiene el sistema).
Respecto a las h( n ) que proponés:
- h( n ) = (-1)^n para todo n, es muy extraña. Para empezar no tiene transformada Z. Creo que quisiste decir (-1)^n .u( n ), no? Pero ese sistema no es estable, ni tiene como ROC todo el plano. Esas incoherencias se pagan caro. En general se considera que una incoherencia así anula todo lo que hayas puesto bien antes.
- h( n ) =2 delta( n ) - (1/2) ^ n. u( n ). Bueno, por lo menos este es estable y a derecha. No te va anular la parte anterior que dijiste, pero no tiene justificación. O sea que no se va a contar ningún punto por ella.
Espero que esta descripción de cómo pensamos los docentes al corregir ayude a que entiendan como tienen que responder, y no a ponerlos más nerviosos... Espero, es mi intención. Por favor, cuando lo resuelvas, mandame también la respuesta. Saludos,
Patricia