Ejercicio de Paricial DFT /DTFT
de Riobó Lucas Matías - Hola a todos!
El ejercicio dice:
Sea un sistema LTI del que se conocen los siguientes datos de su respuesta h[n]:
1) h[n]=h[n+4].
2)H'[k] que es la DFT de 8 puntos de h'[n] que es una señal de duracion 8 puntos igual a h[n] para n=0....7, es tal que H'[2k]=(-1)^k, para k=0...3.
Se pide:
a) Determinar si es posible H(omega), la transformada de fourier de h[n].
b) Determinar si es posible encontrar la salida y[n] del sistema cuando la entrada es x[n]= 2+cos(2pi.n /8)+4.cos(2pi.n.2 /8)
a) Como por (1) h[n] es periodica, entonces su espectro es un tren de deltas equiespaciado en 2pi/4, o sea, coinciden con los valores de su DFT de 4 puntos con h[n] de duracion N=4.
Como H'[k] es la DFT de una señal que es igual a 2 periodos de h[n] con N=8, entonces es el mismo espectro, pero con ceros intercalados, y donde no hay ceros (2k) entonces no queda otra que la DFT de 4 puntos de h[n], que es H[k] sea:
H[k]=H'[2k]=(-1)^k / 2 **No se si esta bien esa división**.
Por lo tanto, H[omega] es igual a H[k] pero con con el eje de frecuencia desnormalizado a 2pi.
para el punto (b), la respuesta es que si es posible entontrar la salida y[n], si el sistema es LTI y ya tengo H[omega], es cuestion de multiplicar las transformadas y hallar la antitransformada.
El problema que tengo es para calcularlo justamente.
Ya que x[n] es de duracion finita y se puede ver como la suma de los cosenos (de duracion infinita) ventaneado con una ventana de N=8.
Esto en frecuencia, son las deltas de los cosenos, convolucionados con las sincs, o sea, una suma de sincs corridas. Y todo esto, multiplicados por la H[omega] que son otras deltas, en definitiva, Y[omega] tendran valores distintos de cero (puede q tambien haya ceros, segun mis cuentas no hay ceros donde caen pero puede que este mal) en aquellos valores donde esta H[omega].
Entonces la pregunta es, antes de seguir haciendo infinitas cuentas, estoy omitiendo algo que me simplifica la existencia?
Gracias!
El ejercicio dice:
Sea un sistema LTI del que se conocen los siguientes datos de su respuesta h[n]:
1) h[n]=h[n+4].
2)H'[k] que es la DFT de 8 puntos de h'[n] que es una señal de duracion 8 puntos igual a h[n] para n=0....7, es tal que H'[2k]=(-1)^k, para k=0...3.
Se pide:
a) Determinar si es posible H(omega), la transformada de fourier de h[n].
b) Determinar si es posible encontrar la salida y[n] del sistema cuando la entrada es x[n]= 2+cos(2pi.n /8)+4.cos(2pi.n.2 /8)
a) Como por (1) h[n] es periodica, entonces su espectro es un tren de deltas equiespaciado en 2pi/4, o sea, coinciden con los valores de su DFT de 4 puntos con h[n] de duracion N=4.
Como H'[k] es la DFT de una señal que es igual a 2 periodos de h[n] con N=8, entonces es el mismo espectro, pero con ceros intercalados, y donde no hay ceros (2k) entonces no queda otra que la DFT de 4 puntos de h[n], que es H[k] sea:
H[k]=H'[2k]=(-1)^k / 2 **No se si esta bien esa división**.
Por lo tanto, H[omega] es igual a H[k] pero con con el eje de frecuencia desnormalizado a 2pi.
para el punto (b), la respuesta es que si es posible entontrar la salida y[n], si el sistema es LTI y ya tengo H[omega], es cuestion de multiplicar las transformadas y hallar la antitransformada.
El problema que tengo es para calcularlo justamente.
Ya que x[n] es de duracion finita y se puede ver como la suma de los cosenos (de duracion infinita) ventaneado con una ventana de N=8.
Esto en frecuencia, son las deltas de los cosenos, convolucionados con las sincs, o sea, una suma de sincs corridas. Y todo esto, multiplicados por la H[omega] que son otras deltas, en definitiva, Y[omega] tendran valores distintos de cero (puede q tambien haya ceros, segun mis cuentas no hay ceros donde caen pero puede que este mal) en aquellos valores donde esta H[omega].
Entonces la pregunta es, antes de seguir haciendo infinitas cuentas, estoy omitiendo algo que me simplifica la existencia?
Gracias!
Re: Ejercicio de Paricial DFT /DTFT
de BALAN JUAN MARTIN - No veo porque asumis que x( n) es de duracion finita. No vi el enunciado, pero si te lo dan asi no se supone que no estaria ventaneado?
En ese caso no habria sincs, el espectro de X seria una delta en 0, dos deltas de cada lado y periodico. Cuando multiplicas por H(omega) te sobrevive la delta correspondiente a cos(4pi n/8) y la salida seria un -cos. No se si esta bien lo que digo.
En ese caso no habria sincs, el espectro de X seria una delta en 0, dos deltas de cada lado y periodico. Cuando multiplicas por H(omega) te sobrevive la delta correspondiente a cos(4pi n/8) y la salida seria un -cos. No se si esta bien lo que digo.
Re: Ejercicio de Paricial DFT /DTFT
de Riobó Lucas Matías - Si, olvidé poner que x[n] esta definido para x=0....7 y cero para el resto. Perdón ^^
Re: Ejercicio de Paricial DFT /DTFT
de PELLE PATRICIA ALEJANDRA - Lucas, tu resolución está escencialmente bien. Vamos a tu pregunta específica y después "emprolijamos" lo anterior.
Si tenés una h( n ) de duración infinita, pueden pasar dos cosas: que sea estable el sistema (ej (1/2)^n *u( n ), u otra señal bilateral, o también una sinc, o sin^2, que las consideramos estables), y entonces no hay problema en calcular la salida. Éste no es el caso, y vos te preguntarás si podés calcular o no la salida. Pensá esto: si tu entrada es FIR, tu salida vas a poder calcularla como la convolución de la entrada y la h( n ). Pero la convolución es conmutativa, así que podrías pensar que tu sistema tiene una respuesta al impulso FIR, y tu entrada es una señal periódica, o no? Y si no, si la querés más directa, siempre que hagas la convolución entre algo acotado, y algo FIR, el resultado existe y es acotado, porque es una sumatoria de un número finito de señales acotadas. Entiendo que esa era tu pregunta, pero no estoy segura.
Ahora vuelvo al "emprolijamiento". Debo advertirles que los docentes nos ponemos muy, pero muy mal cuando los espectros H(Omega) (que son espectros de variable independiente Omega real) los convierten en una secuencia de "fosforitos" como si fueran una DFT. La DFT es una secuencia de números, la H(Omega) es un espectro continuo con funciones de distribución, que son entes matemáticos bastante difíciles de entender y manejar. Por favor, no digan que uno es como el otro, se los ruego. (No digo que sea tu caso Lucas, pero en la explicación no sé si estaba claro).
Después hay toda una serie de constantes entre uno y otro que no aparecieron por ningún lado. Los pesos de las deltas del espectro continuo de H(Omega) son
2*pi*a_k,
donde a_k son los coeficientes de la Serie de Fourier de h( n ). Y las amplitudes de la DFT de un período de N puntos de h( n ) son
N*a_k
Así que emprolijen eso, y por favor, hagan el dibujo de H(Omega) con flechitas, que no es tan trivial la diferencia como usar otro símbolo en el plot.
Por último, la división esa que decís está bien: si hacés la IDFT de ambas señales por separado lo podés verificar. Saludos,
Patricia
Si tenés una h( n ) de duración infinita, pueden pasar dos cosas: que sea estable el sistema (ej (1/2)^n *u( n ), u otra señal bilateral, o también una sinc, o sin^2, que las consideramos estables), y entonces no hay problema en calcular la salida. Éste no es el caso, y vos te preguntarás si podés calcular o no la salida. Pensá esto: si tu entrada es FIR, tu salida vas a poder calcularla como la convolución de la entrada y la h( n ). Pero la convolución es conmutativa, así que podrías pensar que tu sistema tiene una respuesta al impulso FIR, y tu entrada es una señal periódica, o no? Y si no, si la querés más directa, siempre que hagas la convolución entre algo acotado, y algo FIR, el resultado existe y es acotado, porque es una sumatoria de un número finito de señales acotadas. Entiendo que esa era tu pregunta, pero no estoy segura.
Ahora vuelvo al "emprolijamiento". Debo advertirles que los docentes nos ponemos muy, pero muy mal cuando los espectros H(Omega) (que son espectros de variable independiente Omega real) los convierten en una secuencia de "fosforitos" como si fueran una DFT. La DFT es una secuencia de números, la H(Omega) es un espectro continuo con funciones de distribución, que son entes matemáticos bastante difíciles de entender y manejar. Por favor, no digan que uno es como el otro, se los ruego. (No digo que sea tu caso Lucas, pero en la explicación no sé si estaba claro).
Después hay toda una serie de constantes entre uno y otro que no aparecieron por ningún lado. Los pesos de las deltas del espectro continuo de H(Omega) son
2*pi*a_k,
donde a_k son los coeficientes de la Serie de Fourier de h( n ). Y las amplitudes de la DFT de un período de N puntos de h( n ) son
N*a_k
Así que emprolijen eso, y por favor, hagan el dibujo de H(Omega) con flechitas, que no es tan trivial la diferencia como usar otro símbolo en el plot.
Por último, la división esa que decís está bien: si hacés la IDFT de ambas señales por separado lo podés verificar. Saludos,
Patricia