Hola! Quería hacer una consulta sobre un ejercicio donde se pide resolver la ecuación de Laplace en un recinto. Quise resolverlo usando separación de variables, proponiendo una u(p,φ)=R(r).Φ(φ) y reemplacé en la ecuación de Laplace en polares, quedándome eventualmente un PSLS en Φ(φ) Usando las condiciones de contorno llegué a que λ>0 es autovalor llegando a la función Φ(φ)=Bnsen((n+1)φ) y que λ=0 no era autovalor.
En cuanto a R(r), me había quedado, después de plantear separación de variables, la siguiente ecuación: r2R´´ + r.R´- λR = 0. Como solo para λ>0 hay soluciones, creí que las mismas eran de la forma: R(r)= C.ch[sqrt(-λ).ln(r)]+D.sh[sqrt(-λ).ln(r)], pero no sé que condiciones de borde podría usar en este caso. Me quedé atascado en ese paso; no sé si la resolución va por otro lado.
Igualmente, adjunto foto del enunciado.
Desde ya muchas gracias.
Saludos, Luciano
En este caso te conviene proponer como solución lo siguiente: u(r,φ)=v(r,φ)+w(φ). En donde en v(r,φ) debes resolver por separación de variables, es decir v(r,φ)=R(r).Φ(φ) de tal forma que te quede un PSLS en Φ(φ). Y la w(φ) la sacas sabiendo que tanto el laplaciano de u como el laplaciano de v son nulos (esta ultima es condición que propones justamente para tener PSLS en v) y con las dos condiciones de borde con respecto de φ que te dan en el enunciado.
Saludos
Kelly
Saludos, Luciano.